級数sin nx/nが条件収束することの証明

$\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sin{nx}}{n}}$ は $x$ が $\pi$ の整数倍でない時，条件収束する級数です．この証明が面白かったのでメモしておこうと思います．条件収束するとはすなわち， $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sin{nx}}{n}}$ は収束するが，各項の絶対値を取った級数 $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \left|{\dfrac{\sin{nx}}{n}}\right|}$ は発散するということなので，示すことが二つあります．

まず $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sin{nx}}{n}}$ が収束することを示すにはディリクレの収束判定法を用います．
ディリクレの判定法 - Wikipedia
簡単に言えば単調な列 ${b_n}$ が0に収束し， ${a_n}$ の部分和列が有界なら ${a_nb_n}$ の和が収束するという定理です． $a_n = \sin{nx}$ ， $b_n = \dfrac{1}{n}$ としてこの定理を適用してあげると収束することが示せます．条件の確認をします． $b_n = \dfrac{1}{n}$ が単調で極限値が0であることはいいでしょう． $\sin{nx}$ の部分和列が有界なことを示します．あまり有名ではないですが以下の公式があります． $e^{inx}$ に等比数列の和の公式を用いて虚部を持ってくれば導出できます．
$\displaystyle{\sum_{k=1}^n} \sin{kx} = \dfrac{\sin{\dfrac{nx}{2}}\sin{\dfrac{(n+1)x}{2}}}{\sin{\dfrac{x}{2}}}$
この公式から $\sin{nx}$ の部分和列が有界なことも確認できたので定理が使えて， $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sin{nx}}{n}}$ が収束することが言えました．

収束が言えるとその値が気になりますが，実はこの級数の値は $\dfrac{\pi - x}{2}$ になります．この関数を $[0, 2\pi$ ]でフーリエ展開してあげると上の和の形がでてきます． $\log{(1-z)}$ のmaclaurin展開を用いることもできます．

次に $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \left|{\dfrac{\sin{nx}}{n}}\right|}$ が発散することを示しましょう．任意の定数 $c$ に対して $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{c}{n}}$ は発散することを思い出すと，適当な範囲で $|\sin{nx}|$ を平均した時に，ある定数より大きくなることを言えば良いです．例えば和を2個ずつに区切って， $|\sin{(2n-1)x}| + |\sin{2nx}|\gt c$ が言えたら，
$\begin{align} \displaystyle{\sum_{k = 1}^{2n} \left|{\dfrac{\sin{kx}}{k}}\right|}&=\displaystyle{\sum_{k = 1}^n \left(\left|\dfrac{\sin{(2k-1)x}}{2k-1}\right|+\left|\dfrac{\sin{2kx}}{2k}\right|\right)}\\ &\gt\displaystyle{\sum_{k = 1}^n \dfrac{1}{2k}\left(|\sin{(2k-1)x}+|\sin{2kx}|\right)}\\ &\gt \displaystyle{\sum_{k = 1}^n \dfrac{c}{2k}} \end{align}$
となるので，元の級数が発散することが言えます（和の上限が奇数でも同様です）．

単位円を思い浮かべながら区間の長さと押さえる際の定数を考えると，3個ずつに区切れば $\sin{x}$ で押さえられそうだとわかります．実際
$\begin{align} (|\sin{(n - 1)x} &| + |\sin{nx}| + |\sin{(n+1)x}|)^2 \\ &\geq \sin^2{(n-1)x}+\sin^2{nx}+\sin^2{(n+1)x} \\ &=2(\sin^2{nx}\cos^2{x}+\sin^2{x}\cos^2{nx})+\sin^2{nx}\\ &=2\sin^2{nx}\cos^2{x}+2\sin^2{x}-2\sin^2{nx}\sin^2{x}+\sin^2{nx}\\ &=\sin^2{x}+3\sin^2{nx}-4\sin^2{nx}\sin^2{x}+\sin^2{x}\\ &=\sin^2{x}+3\sin^2{nx}(1-\sin^2{x})+\sin^2{x}(1-\sin^2{nx})\\ &\geq\sin^2{x} \end{align}$
から $|\sin{(n-1)x}|+|\sin{nx}|+|\sin{(n+1)x}|\geq|\sin{x}|$ となります．

よって $m$ を $\dfrac{n-1}{3}$ を超えない最大の整数として
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}\left| \dfrac{\sin{kx}}{k}\right| &\geq\sum_{k=1}^{m}\left|\dfrac{\sin{(3k-1)x}}{3k-1} \right|+ \left|\dfrac{\sin{3kx}}{3k} \right| + \left|\dfrac{\sin{(3k+1)x}}{3k+1} \right|\\ &> \sum_{k=1}^{m} \dfrac{1}{3k+1} (|\sin{(3k-1)x}| + |\sin{3kx}| + |\sin{(3k+1)x}|)\\ &\geq |\sin{x}|\sum_{k=1}^{m}\dfrac{1}{3k+1} \end{align}$
で最後の項が $n \to \infty$ すなわち $m \to \infty$ で発散するので元の級数も発散することが示ました．